王玉莲 赵铁军 刘娜娜

　　测量不确定度是对测量结果可能误差的度量，也是定量说明测量结果质量(或可靠性)的一个参数。而自由度却是测量不确定度的一个参数，是反映相应标准差的可靠程度，也是说明不确定度的质量(或可靠性)的一个参数。自由度还可称为二阶不确定度，通常表示所给标准不确定度的可靠程度或准确程度。

　　目前，有人通过证明不确定度的自由度，得出算术平均值不确定度的自由度比单次测量结果不确定度的自由度大的结论，本文对此进行讨论。

　　首先，必须明确“X_i的最佳估计x_i没有自由度，而JJF1059-1999中的2.18条明确阐述“自由度反映相应实验标准差的可靠程度”，即自由度是标准差(或方差)的一个参数，而不是测量结果的参数，不确定度才是测量结果的参数。
　　其次，将测量结果的算术平均值X展开后直接代入不确定度传播公式中，算出:

　　但是，由此结果推断X_i与X_j(各单次测量结果)之间互不相关或相互独立的假设成立，是没有理论依据的。进一步应用Welch-Satterthwaite公式来计算平均值不确定度的有效自由度，更是概念上的混乱，因为有效自由度合成公式推导成立的前提条件是当各分量均服从正态分布且相互独立时，可用Welch-Satterthwaite公式来计算其合成标准不确定度的有效自由度，在于没有足够条件证明对同一被测量多次测量之任一次测量结果是服从正态分布的；同时，又仅仅利用不确定度传播公式合成计算得出的结果来反推X_i与X_j是相互独立或不相关，缺乏足够证据，因此得出ν_eff=k·ν_p，是不妥的。

　　自由度是直接反映不确定度的评定质量、表征不确定度可靠性的一个参数。“算术平均值作为测量结果比用一次测量值作为结果可靠性要高”这句话是正确的，这已从它们的不确定度大小中有所体现，即:；作为测量结果的可靠性指标——测量不确定度的确不一致，平均值的不确定度小于单次测量结果的不确定度，算术平均值作为测量结果比单次测量结果可靠性高，这是合乎逻辑的。

　　而“算术平均值的不确定度的自由度比单次测量或合成样本标准差的自由度要大”恰恰不合逻辑，因为自由度的含义是代表信息量，信息量多、自由度大，反之则小。s与信息量相同，均为k个测量结果，因此，二者的自由度必然相同。

　　笔者认为:
　　1.当测量结果用多次测量平均值报告时，其可靠性要比单次测量结果高，其A类不确定度比单次测量结果的A类不确定度要小，但二者的不确定度的可信性一致，即自由度相同。这是因为与X_i之间信息量不同，信息量大，X_i信息量少，故比X_i更可靠，而与s(X_i)所包含的信息量是一致的，因此自由度也一致，合乎自由度的定义和含义。

　　2.按照自由度的定义:总和的项数减去其中受约束的项数。对于A类评定的不确定度，其自由度为:在方差计算中，和的项数减去对和的限制数。即是观测次数与被测量个数之差。对同一被测量，则自由度为测量次数减1。
　　在数学方面，可以证明自由度与标准不确定度的相对标准不确定度有关:

　　对于平均值而言，有:
　　对于单次测量结果，有:
　　代入式(1)可得ν_平均=ν_单次
　　即平均值标准差的自由度与单次测量标准差的自由度相等。
　　作者单位【黑龙江省计量检定测试院】